求助一道题，真想不出来

念直至成伤 · 发表于 2025-3-11 14:03:50

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an，bn是两个非负实数列，an级数求和收敛，bn级数求和发散，证明：
（1）存在正实数列Mn，收敛于正无穷（这个说法不严谨，但相信大家都懂是啥意思）。使得anMn级数求和收敛
（2）类似的，证明存在蒸实数列εn收敛于0，εnbn级数求和发散。
就是没想明白怎么构造啊

季静珊 · 发表于 2025-3-11 16:01:29

我感觉还好吧，用幂级数。还是我想简单了

澹台雨筠 · 发表于 2025-3-11 17:45:00

不好玩 · 发表于 2025-3-11 19:45:14

对于(1)考虑∑an的余项Rn
Mn=√Rn-1-√Rn/an=1是正的,limMn=+∞
则∑anMn=√S收敛
对于(2)考虑∑bn的前n项和Sn
置εn=1/Sn,则limεn=0,∑εnbn发散(留待证明
)