【勒贝格积分的小问题】

随心所欲 · 发表于 2025-3-18 18:34:41

如果无法证明的话，没法应用定理10.10呀

思雁 · 发表于 2025-3-18 20:45:54

直接套用定义就可以了,step function对加法封闭

思雁 · 发表于 2025-3-18 22:13:48

我知道你是哪里不明白了，你先好好考虑一下def10.4也就是U的定义，并且这里f-的等价定义是f在其小于0处的函数值的绝对值，那就是和f+一样的情况，至于你说所说的反例是因为要求stepfunction是递增的，你思考下在取了绝对值的情况还是反例吗？如果还是不好理解，我建议是找一本正经的实分析去读，因为这本书讲法很怪，是想用简单函数族去构造可测函数。这和正常的讲法是相反的

思雁 · 发表于 2025-3-18 22:22:42

这里-f之所以会有反例，我猜是因为有-f下无界的情况，这样是没法构造stepfunction的，而都取绝对值就可以避免这个问题

思雁 · 发表于 2025-3-19 00:49:53

这个要严谨的说明确实感觉太麻烦了,几乎就是重新推了一遍可测函数的性质了,你如果想尝试,可以试试我说的那种通过下有界性质(下有界性质可以用反证法证明)构造递增stepfunction列,就是对于逼近在其小于0处f在的stepfunction列,和f在对应的stepfunction连续区间的inf做差一个可以构造一个这样的列,可能有细节我没说清楚,但基本思路是这样的