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显然||f||_2^2+||f‘||_2^2=||f||_{C^1}^2
那么f_n是这个C^1范数下的Cauchy列当且仅当f_n和f'_n都是2-范数下的Cauchy列
于是对于C^1范数下的Cauchy列f_n，f'_n在2-范数下收敛到一个L^2函数，但L^2函数未必连续，所以可以期待存在反例
楼上给的反例与论证都是错的。f_n(x)=x^n在2-范数下是收敛到f(x)=0的，所以不存在极限函数不可导的问题；而f'_n(x)=nx^(n-1)有||f'_n||_2=n/√(2n-1)，所以f'_n是2-范数下的无界序列，显然不Cauchy。
所以构造思路可以是让f'_n的逐点极限在[0,1]区间内部不连续——逐点极限只在端点处不连续的话，由于L^2范数不关心零测集上的取值，所以此时它仍会收敛到一个连续函数；f_n则由f'_n积分得到，以防止出现上述f'_n无界的情形。
那么令f'_n(x)=-1, 若x<1/2-1/(2n); =2n(x-1/2)，若1/2-1/(2n)≤x≤1/2+1/(2n); =1, 若x>1/2+1/(2n)
f_n(x)=∫_{1/2}^x f'_n(t)dt，于是f_n(x)=n/2 (x-1/2)^2, 若1/2-1/(2n)≤x≤1/2+1/(2n); =|x-1/2|-1/(4n), 其余情形
不难看出f_n的极限是f(x)=|x-1/2|在x=1/2处不可导。f-1/(4n)≤f_n≤f，因此m,n>N时||f_n-f_m||_2≤1/(4N)，f_n在2-范数下Cauchy；|x-1/2|≥1/(2N)时f'_n(x)=f'_m(x)，|x-1/2|<1/(2N)时|f'_n(x)-f'_m(x)|≤1，所以||f'_n-f'_m||≤N^(-1/2)，f'_n在2-范数下Cauchy；因此f_n是C^1范数下的Cauchy列，构成了反例 |
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