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要求正整数a和b满足α十b>ab的必要条件,我们可以通过简单的代数变换来找到这个条件。
首先,将不等式α十b>ab重写为:
a+b>ab
将ab移到不等式左边:
a+b-ab>0
提取公因数a:
a(1-b)+b>0
进一步整理得到:
a(1-b)>-b
由于α和b都是正整数,1一b可能是负数、零或正数。为了使不等式成立,a(1-b)必须大于-b。考虑到a是正整数,1-b必须满足以
下条件之一:
1.如果b=1,那么1-b=0,不等式变为0>-1,显然成立。
2.如果b>1,那么1-b是负数,为了使a(1-b)>-b成立,a
必须足够大,以确保a乘以一个负数仍然大于一b。
3.如果b<1,那么1一b是正数,不等式总是成立,因为正数乘以正数总是正数。
因此,一个必要条件是b不能大于1,即b<1。然而,这个条件并不是充分的,因为即使b<1,a也需要足够大才能满足不等式。总结一下,a十b>ab的必要条件是b<1,但这个条件并不充分,因为a的大小也会影响不等式是否成立。实际上,对于任意正整数b,只要α足够大,不等式总是可以成立的。 |
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