等边长的方格中是否存在三个方格点，三点连线是等边三角形？

Leaco · 发表于 5 天前

在无限大且等边长的方格中是否存在三个方格点，三点连线是等边三角形？如果存在，请找出，如果不存在，请证明。意思如下图，方格边长相等，是否存在A、B、C三点，且AB=BC=CA？（当然图中画的三角形ABC肯定不是等边三角形）问了许多中学数学老师，未能解决，请大神帮助解决。

上官丽姝 · 发表于 5 天前

证明在方格纸上无法表示出60度角行吗，还没细想，也就是无法通过两个tan值是有理数的角减出tan值是根号3的tan60

Leaco · 发表于 5 天前

是一种思路，怎么证明？

上官丽姝 · 发表于 5 天前

如图，最后式子的nmpq都是正整数，而无理数不可以表示为两个正整数做比，所以这个数不可能等于根号三，所以不可能表示出根号三

蔚千风 · 发表于 5 天前

固定其中两个点，线段绕着其中一个点旋转60度，第三个点不是整数，故不存在。

黑夜里失眠 · 发表于 5 天前

0<α<π/3,0<β<π/3，α+β=π/3，显然tan(α+β)=√3
如果tanα，tanβ都是有理数，那么tan(α+β)必为有理数，矛盾，所以tanα，tanβ至少有一个是无理数
所以不存在三个方格点满足题意

夜凄凉 · 发表于 5 天前

从各个角的相互关系可以证明abc至少有两个点要在一条直线的节点上；
tan60为无限不循环数，那么就不能写成两个整数的比，固没有一个整数解。
这应该可以证明出来了吧。