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先证明当素数p≡5(mod 6)时，整数a, b, c满足a²+b²+c²≡ab+bc+ca (mod p)当且仅当a≡b≡c(mod p)
这是因为对奇素数p，a²+b²+c²≡ab+bc+ca (mod p)等价于 (2a-b-c)²+3 m(b-c)²≡0(mod p)
p≡5(mod 6)，勒让德符号(-3/p)=-1，所以只可能p|2a-b-c且p|b-c，也就是a≡b≡c(mod p)
p=2时可以验算一下答案应该是2
当p为奇素数且p≡2(mod 3)时，设所有满足0≤x≤p-1, 0≤y≤p-1, x≠y的有序整数对(x, y)组成集合M，所有满足0≤a≤p-1, 0≤b≤p-1, 0≤c≤p-1的有序三元组(a, b, c)组成集合N
对每一对(x, y)∈M，设N中满足(x+a)(y+b)≡(x+b)(y+c)≡(x+c)(y+a)(mod p)的三元整数组(a, b, c)组成的集合为N(x, y)
设(x, y), (x', y')是M中不同两对，由于y-x和y'-x'都与p互素，存在1≤k≤p-1使得k(y-x)≡y'-x'(mod p)
那对N(x, y)中的每一组(a, b, c)，(kx+ka)(ky+kb)≡(kx+kb)(ky+kc)≡(kx+kc)(ky+ka) (mod p)
设整数l满足l≡kx-x'(mod p)，由于kx-x'≡ky-y'(mod p)，则l≡ky-y'(mod p)，那(x'+ka+l)(y'+kb+l)≡(x'+kb+l)(y'+kc+l)≡(x'+kc+l)(y'+ka+l) (mod p)，说明ka+l, kb+l, kc+l除以p的余数组成的三元组∈N(x', y')
由于k与p互素，(ka+l, kb+l, kc+l)≡(ka'+l, kb'+l, kc'+l)(mod p)只可能(a, b, c)≡(a', b', c')(mod p)，说明N(x, y)中每一组(a, b, c)都在N(x', y')中有唯一一组(ka+l,kb+l,kc+l)(mod p)与之对应
(x, y)与(x', y')任意选取，所以N(x, y)和N(x', y')之间形成双射，所含的三元组数量相等，设对于任意(x, y)∈M, N(x, y)所含的三元组数量为t
另一方面对每一组(a, b, c)∈N，满足(x, y)∈M且(x+a)(y+b)≡(x+b)(y+c)≡(x+c)(y+a)(mod p)的(x, y)，需要满足
(a-b)y+(b-c)x+ab-bc≡0(mod p)且(b-c)y+(c-a)x+bc-ac≡0(mod p)
当a, b, c模p不全同余时，也就是a²+b²+c²≠ab+bc+ca(mod p)时，(a-b)(c-a)≠(b-c)²(mod p)，同余方程组有且仅有一组模p的解
其中若这组(x, y)使得x≡y(mod p)，则只可能(a-c)(x+b)≡0且(b-a)(x+c)≡0(mod p)
当a≡b(mod p)时由于不可能a≡c(mod p)，所以x≡-b≡-a(mod p)，同理当a≡c(mod p)时只可能x≡-a≡-c(mod p)，而当a≠b且a≠c(mod p)时x≡-b≡-c(mod p)
说明这种情况会且仅会在a, b, c中恰有两个模p同余时出现，这时没有M中的(x, y)使(a, b, c)∈N(x, y)
当a, b, c两两模p互不同余时，每组(a, b, c)仅会出现在某一对(x, y)∈M所对应的集合N(x, y)中
而当a=b=c时，明显(a, b, c)会出现在每一对(x, y)∈M所对应的集合N(x, y)中
因为|N|=p(p-1)，|M|=p³，a=b=c的三元组(a, b, c)共p组，a, b, c恰有两个相等的三元组(a, b, c)共3p(p-1)组，a, b, c两两互不相等的一共有p³-p-3p(p-1)组
可得p(p-1)×t = [(p³-p-3p(p-1)]×1+p×p(p-1)，解得 t=2p-2
综合p=2的情况，题目所求的N(0, 1)中共有2p-2组(a, b, c) |
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