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现在高中数学竞赛的内容是与高考接上了轨，一些内容在竞赛中先出现一丢丢，然后可能就是放置低配版在高考中，也可以叫试试水。当然，这里不主张学生去学竞赛，真的是费时又费力，而且数学竞赛太难出成绩了。除非是自己有这样无敌的资质，或者只是单纯的当做爱好，数学竞赛还是可以试试看的。
2023年全国高中数学联赛甘肃省预赛
什么是马尔可夫链？题目中已经说明了，也就是下一次事物发生的情况只与当前的状态有关，与之前状态无关。这就好比你走进了一个迷宫，那么接下来会遇到哪道门，就只和你现在所处的位置有关，过去怎么样都已经无法左右了。这就很好地说明了，为什么马尔可夫链需要利用数列来求解，以及为什么放在概率中考查是合适的。
概率什么时候开始结合数列的呢？记得2019年全国一卷就是数列与概率的结合，因为题目新颖，一时间打得学生措手不及，但是还没有突出马尔可夫链这个概念。但是到了2023年新高考1卷第21题的投篮问题，就看到了它正式登陆了。当然，对马尔可夫链的研究，优秀的高中一线教师早就开始了，大多都停留在P(n)与1-P（n）的两点对应。用来构造数列的关系式绝大多是：
也就是第n+1次发生的概率，只需要考虑第n次发生和不发生两种情况就够了。然而，新模式高考给了许多一线教师担忧，普遍认为2024高考数学概率题可能是15分，也就是猜测概率题会更复杂，倘若出现了类似于竞赛预赛中的多元马尔可夫链问题又该怎么办呢？
事实上，第n+1次的结果只能是0个黑球，1个黑球，2个黑球，第n次的结果会导致它们之间的关系更加复杂，而不是前面的简单关系！真是你中有我，我中有你，大家凑在一起，理解起来比较混乱，这里可以可以列出式子。
递推关系相当复杂，如何求取数列的通项呢？看上去确实困难，但是只要抓住核心问题就不难办。选择其中与所有数列递推都有关的式子，利用关系转化，
使得变成只有某单个数列的递推关系！比如全是数列an，或者全是bn，或者全是cn，这样就可以求出某个数列的通项，进而解决问题。再来看看刚刚的温州高三期末数学第18题，恰好又是同类型的问题。当然它比竞赛要简洁许多！
温州高三期末第18题
第n+1次红球的数量依赖于第n次的三种不同形态，进而构造彼此的联系。最后锁定bn为突破口，求出所有的通项。也就是说，懂得了如何寻找做题的突破口，那么这类多元的马尔可夫链就不再是困扰。这里再附加一道题！
高二竞赛
有兴趣的小伙伴可以试试看，或许你就是这么拥有潜力！
高中数学概率小题还能这么考？清华卷又给高三党上了一课 |
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