求助一个数学分析问题

潭沛珊 · 发表于 3 天前

马上注册，结交更多好友，享用更多功能，让你轻松玩转社区。

您需要登录才可以下载或查看，没有账号？立即注册

x

若一个R上的实值函数处处存在左导数和右导数，且在每一点处左导数和右导数的乘积小于等于0，如何证明其一定为常值函数？

盗墓贼 · 发表于 3 天前

由条件，这个函数在定义域内每一点有极值，也就是每一点都取极值，这说明这个函数是常函数。这样行吗

Snow · 发表于 3 天前

可导的充要条件就是左导右导相等，两个相乘要小与等于0的话只能等于0

Snow · 发表于 3 天前

能力有限，有什么不严谨的地方还望指正🙏🙏

武乐松 · 发表于 3 天前

可以用反证法：先假设它满足题干要求，最后得出它与假设矛盾，所以一定是

Nick · 发表于 3 天前

如果存在一个点不是常值，那么证明在这个点的邻域内的点不满足题设条件即可

杨立红 · 发表于 3 天前

下面是我的想法，感觉有点复杂。
连续性大家都讨论出来了，然后有介值定理。
取a小于b，若fa小于fb且其间没有其它函数值等于fa或fb的元素，则可以讨论出b左导数大于0，a右导数大于0。
然后类似讨论相邻的函数值为fb的元素以及可能存在的最大最小为fb的元素与无穷之间的元素，得到函数值都小于等于fb。类似得都大于等于fa。
然后取一个a到b之间函数值在fa到fb之间的元素，又可以重复讨论，得所有元素函数值既小于等于它又大于等于它。

杭乐芸 · 发表于 3 天前

x使得f'-(x)不等于f'+(x)的集合是可数的, 考虑到此时f(x)是某个以x为端点的开区间上的严格极值. 那么连续的f在除了可数个点上导数都是0, f为常数是个经典结论.

盗墓贼 · 发表于 3 天前

可能跟这个定理有关，函数在某点处增加或减少并不需要可微性，可以看看

盗墓贼 · 发表于前天 00:51

求助一个数学分析问题

马上注册，结交更多好友，享用更多功能，让你轻松玩转社区。

本帖子中包含更多资源

本帖子中包含更多资源

本帖子中包含更多资源

本帖子中包含更多资源

浏览过的版块